Lastauslegung
Lastannahmen beim Dimensionieren des Modells
Eigentlich wollte ich nur die Grössenordnung der Torsionsbelastung ermitteln und bin dabei auf einen interessanten Artikel im RC-Network-Archiv gestossen. Christian Ückert schildert darin einen einfachen Ansatz wie man die Querkäfte, das Biege- und das Torsionsmoment an einem Flugzeug ermittelt. Nach dem Studium dieser Lektüre habe ich meine Excel-Dokumentation entsprechend für den Flügel und das Leitwerk ergänzt.
Nachfolgend eine kurze Zusammenfassung der Erkenntnisse. Am Anfang stand die Frage: Wie muss ein schnelles Hangflugmodell ausgelegt werden, damit positive und negative Figuren geflogen werden können, ohne dabei zerstört zu werden. Entsprechend geht es dabei um die Ermittlung der auftretenden Kräfte bzw. welche Lastvielfachen berücksichtigt werden sollen. Diese Frage lässt sich nun grob in drei Teile aufteilen:
1. Welche Kräfte und Momente wirken auf das Modell
2. Wie soll das Lastverhalten aussehen
3. Welchen Einfluss hat diese Erkenntnis auf die bisherige Auslegung
Lastverteilung am Flügel
Als Erstes werden die wirkenden Kräfte und Momente skizziert, welche an einem Flügel wirken. Anschliessend erfolgt die analytische Bestimmung der Kennwerte, basierend auf einem finiten Elemente-Ansatz.
Hier werden die bereits beschriebenen Formeln aufgeführt und anschliessend durch eine Skizze illustriert.
(1)
Auftrieb A
Aus den Profilpolaren wird der entsprechende Auftriebsbeiwert ca gelesen, bei dem das Modell betrieben werden soll. Dies setzt aber auch voraus, dass mann hier eine Vorstellung hat, bei welcher Geschwindigkeit vx bzw. in welcher Flugphase, das Modell betrieben wird.
(2)
Torsionsmoment MT
Die Torsion MT des Flügels erfolgt einerseits Aufgrund des Profilauftriebs A, welcher im Wesentlichen bedingt durch den Profilmomentenbeiwert cm bzw. die Wölbung des Profils bestimmt wird. Andererseits beeinflusst die Schwerpunktposition xs bzw. die angestrebte Stabilität des Modells diese Kraft wesentlich mit.
(3)
Q = A - n * G
Querkraft Q
Die Querkraft Q greift an der l/4 Linie an, da wo der Holm zu liegen kommt und nimmt den Auftrieb A der jeweiligen Flächenelemente auf, abzüglich der jeweiligen Gewichtsbelastung G .
(4)
Mb = Q * b
Biegemoment Mb
Das Biegemoment Mb entsteht im Wesentlichen durch die Übertragung der Auftriebskräfte A von der Flügelspitze bis zur Wurzel, um das entsprechende Modellgewicht G zu tragen. Entsprechend sind hier die Auftriebs- und Gewichtskräfte genauso beteiligt, wie die entsprechende Aufteilung über die Spannweite s.
(5)
n = A / G
Lastvielfaches n
Als Lastvielfache n wird das n-fache der Gewichtskraft G bezeichnet. Diese Situation mit erhöhter Belastung tritt im nichtstationären Betrieb auf, also wenn eine schnelle Richtungsänderung verbunden mit einer entsprechenden Änderung des Auftriebs A verknüpft ist. z.B. bei einem Übergang vom Horizontalflug in einen Looping oder in den Kurvenflug. Bedingt durch die Massenträgheit wirkt hier die Erdbeschleunigung n-fach. Diese Kräfte müssen durch die Struktur des Modells aufgenommen werden, damit es nicht zerstört wird. Entsprechende Richtgrössen wurden bereits in der Festigkeitsberechnung für den Flächenverbinder beschrieben.
Abbildung 294: Querkraft, Torsions- und Biegemoment am Flügel
In der Abbildung 294 wird ersichtlich, dass die wirkenden Kräfte von der Flügel-spitze hin zur Flächenwurzel aufsummiert werden. Analog erfolgt dies auch bei den Drehmomenten. Daher unterschieden wir im Folgenden zwischen lokalen Kräften und Momenten: klein geschrieben (z.B. q1) und den aufsummierten Kräften und Momenten: (z.B. Q3 = q1 +q2 + q3). Diese Unterscheidung hilft in der Aufbereitung der finiten Berechnung des Flügels.
Belastungsfall in Funktion der Fluggeschwindigkeit
Anhand der beschriebenen Gleichungen lässt sich der jeweilige Lastfall n für die Auslegung des Modells in Abhängigkeit der Fluggeschwindigkeit vx und der Fluglage ermitteln.
Die Darstellung der Lastvielfachen n über die Geschwindigkeit vx zeigen die Auslegungsgrenzen auf, bis zu der das Modell belastet werden kann.
Abbildung 295: Lastvielfache n als Funktion der Fluggeschwindigkeit v
Bei der Fluggeschwindigkeit vx = 0 ist der Auftrieb A = 0. Dieser steigt quadratisch mit der Fluggeschwindigkeit vx an. Im Punkt (E) ist der Auftrieb A gleich gross wie die Gewichtskraft G. Dies entspricht einem stationären Flug in Horizontalrichtung bei Trimmgeschwindigkeit vTrim (vergleiche hierzu die Optimierungsversuche die Flugleistung des Modells genau in diesem Punkt zu optimieren).
Bei einer Verdoppelung der Fluggeschwindigkeit vx wird der Auftrieb A entsprechend 4 mal grösser und damit wird auch das Lastvielfache 4 mal grösser. Der Punkt (A) wird bestimmt durch die Vorgabe eines entsprechenden Lastvielfachen oder durch die Fluggeschwindigkeit vx bei der mit dem max. Auftriebsbeiwert camax geflogen werden will (z.B. in einer Speed-Wende). Im hier vorliegenden Fall soll die Geschwindigkeit vx = 70 m/s erfolgen werden, wobei bedingt durch das gewählte Profil ein camax = 0.8 aus den Profilpolaren für das Profil RL1YP1 herausgelesen wird.
Oberhalb dieser Geschwindigkeit (A) sollen die Richtungsänderungen entsprechend sanfter durchgeführt werden, was ein kleineres camax voraussetzt. Die Maximalgeschwindigkeit vx max für die das Modell ausgelegt sein soll, entspricht im vorliegenden Fall der maximal erreichbaren Geschwindigkeit im Sturzflug vSturz.
(6)
Sturzflug vSturz
Der entsprechende Widerstandsbeiwert cw(ca=0) wird an der Stelle aus den Profilpolaren für das gewählte Profil RL1YP1 herausgelesen, bei dem der Auftrieb ca = 0 ist. Für den Punkt (B) legen wir entsprechend das Lastvielfache von N = 16 fest, womit durch Umstellung der Auftriebsformel, das max. zulässige camax bestimmt werden kann.
Angenommen das Modell soll schneller bewegt werden als vsturz, z.B. durch entsprechenden Einsatz im DS oder durch die Verwendung eines zusätzlichen Antriebsstrang, so muss dies in der Auslegung einfach berücksichtigt werden. Ebenso kann die Richtungsänderung auch bei diesen Geschwindigkeiten bei camax erfolgen. Dazu muss einfach entsprechend die notwendige Material-reserve berücksichtigt werden. "Unkaputbar" in der Luft ist grundsätzlich möglich, ist aber sicher weder ganz leicht, noch ganz billig :-)
Abbildung 303: Lastvielfaches bei Richtungsänderung
Das Modell soll auch auch im Rückenflug bewegt werden und negative Richtungsänderungen erlauben. Dann sind auch die Auftriebswerte und gegebenenfalls die Lastvielfachen negativ (z.B. Aussen-Looping, bei dem der Auftrieb beim Übergang vom Horizontalflug zuerst negativ ist und anschliessend in Rückenfluglage mit den negativen Profilmomenten positiv ausfällt.
Der Punkt (F) ist das Pendant zu (E) wobei hier die Auftriebswerte bedingt durch die Profilgestaltung deutlich kleiner sind und damit eine höhere Fluggeschwindigkeit vx voraussetzt um den Auftrieb A gleich der Gewichtskraft G zu erreichen.
Bedingt durch die Beschränkung der Profilauftriebswerte ca für negative Figuren beschränken wir das Lastvielfache auf -10 und bewirken damit eine max. erreichbare Geschwindigkeit bei camax am Punkt (D).
Analog der Beschränkung für (B) lassen wird das Lastvielfache auf -10 für die maximal Geschwindigkeit vxmax welche die Belastung für negative Richtungsänderungen bei Sturzflug ergeben.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Eckpunkte für die Auslegung von einem auf 3kg ballastierten Luzi 2 (G = 29.4 N) zusammengefasst unter Aufführung des minimal zulässigen Radius r für eine Richtungsänderung gemäss der Vorgaben aus der Festigkeitsberechnung.
Vorgabe, berechneter Wert
Diese Belastungsfälle müssen anschliessend durchgetestet werden um die maximal auftretenden Kräfte und Momente zu ermitteln.
Berechnungsansatz mit finiten Elementen
Basierend auf dem finiten Lösungsansatz werden nun die Querkraft, das Torsionsmoment und das Biegemoment in Abhängigkeit der gewählten Lastpositionen über die Spannweite ermittelt.
Damit die ausgewählte Flügelgeometrie beurteilt werden kann, muss sie in entsprechend berechenbare Teilsegmente, sogenannte finite Elemente aufgeteilt werden. Ich verzichte hier auf Integralrechnungen, sondern benutze nur vereinfachte Trapez-Formen als Referenz, welche eine rechteckige Ersatzflächen mit definierten Neutralpunkten xn und Pfeilung dxs besitzen.
Abbildung 295: Finite Trapez und Erstatz-Rechteckflächen
Die Bestimmung der einzelnen Ersatzgrössen ist bereits in der Beschreibung des Ersatzflügels erfolgt und wird hier nicht wiederholt. Die einzelnen Berechnungen sind detailliert im Excel-Berechnungsblatt ausgeführt.
An dieser Stelle ist zu ergänzen, dass die Zuspitzung des Flügels eine zusätzliche Torsionsbelastung verursacht, welches durch den Versatz der Neutralpunkte der Ersatzflächen in der Berechnung berücksichtigt wird:
(7)
Torsionsmoment MTP
Abbildung 296: Flügelgrundriss
Nachfolgende Grössen werden zuerst lokal für die Segmente und anschliessend Zusammengefasst berechnet:
(8)
q(x) = A(x) - n * G(x)
Lokale Querkraft: q(x)
(9)
Q1 = q1; Q2 = q1 + q2 = Q1 + q2
Zusammengefasste Querkraft: Q1
(10)
mT(x) = M(x) - n * G(x) * xs(x)
Lokales Gewichtstorsionsmoment: mT(x)
(11)
MT1 = mT1; MT2 = MT1 + mT2
Zusammengefasstes Gewichtstorsionsmoment: MT1
(12)
mb(x) = Q(x) * sn(x)
Lokales Biegemoment: mb(x)
(13)
Mb2 = Mb1 + Q1 * b1
Zusammengefasstes Biegemoment: Mb1 = 0; Mb2
(14)
mtp(x) = q(x) * dl(x)
Lokales Pfeilungsmoment: mtp(x)
(15)
MTP= Q * (xN(x-1) - xN(x))
Zusammengefasstes Pfeilungsmoment: MTP
(16)
MTtot = MTG + MTP
Torsionsmoment: MTtot
Berechnete Werte, Kraft- Und Momentenverlauf über Spannweite
Die Berechneten Werte werden aufgezeichnet. Daraus lassen sich anschliessend die Dimensionen und Positionen der Holme und Torsionsverstärkungen bestimmen.
Nachfolgend werden Biegemoment, die lokalen Verteilungen für das Torsionsmoment und die Querkräfte sowie deren Zusammenfassung aufgeführt unter den jeweils max. Belastungsfällen.
Abbildung 298: Biegemoment Flügel: Lastfall (A)
Abbildung 299: Querkraftverteilung Flügel: Lastfall (A)
Abbildung 300: Querkraft Flügel: Lastfall (A)
Abbildung 301: Torsionsmomentverteilung Flügel: Lastfall (C)
Abbildung 302: Torsionsmoment Flügel: Lastfall (C)
Es ist schon beachtlich, welche Querkräfte Q = 467 N und Biegemomente Mb = 262 Nm an der Flächenwurzel aufgenommen werden müssen. Die Torsionsbelastungen MT = 4 Nm sind hingegen eher klein. Dies ist der geringen Wölbung des verwendeten Profils zu verdanken.
Wie bereits ersichtlich aus den angehängten Kurven ist, treten die maximalen Belastungen nicht alle unter denselben Lastverhältnissen auf. Dazu wurde entsprechend mit den oben beschriebenen Lastfällen experimentiert.
Würde jemand versuchen die die Wölbung des Profil zu erhöhen 1), so würde das camax = 1 und das cm0 = -0.06 erhöht werden im Lastfall (A). Das Profl bringt im Lastfall (C) auch bei entsprechender Wölbung nicht den entsprechenden Auftrieb camax = 1, daher wird hier nur das Moment cm0 = -0.06 erhöht. Ob jedoch mit dieser Einstellung die angestrebten Geschwindigkeiten erreicht werden ist fraglich.
Die Belastungen würden aber dadurch merklich erhöht: Querkräfte Q = 588 N, Biegemomente Mb = 329 Nm und Torsionsmoment MT = 14 Nm. Diese Werte sind in der Tabelle zur besseren Übersicht zusammengefasst.
Holm-Auslegung und Biegung
Da im Excel-Berechnungsblatt schon die Flügelgeometrie erfasst wurde, sollte auch noch die lokalen Dimensionen des Holms und dessen Biegung bestimmt werden. Dazu habe wurde die jeweiligen Profildicken ergänzt und das Widerstandsmoment eines Rechteck-Holmes analog der Vorgabe von C. Baron gerechnet. Dazu kamen die ausgewählten Basis-Dimensionen und die Materialwerte sowie die Aufbaustruktur zur Anwendung.
Die Schale besteht im Holmbereich aus der Farbe und der Gewebe-Aussenlage und ist ca. 0.4 mm je Schale. Der Holmgurt soll aus CFK UD-Gelege mit T700 Faser aufgebaut werden. Der Kern besteht aus Depron und wird umschlossen von einem GFK-Schlauch in 45° zur Holmachse. Daraus ermittelt sich nun bei dem gewählten Holmquerschnitt (Siehe Festigkeitsberechnung, Abbildung 127) ein entsprechendes Widerstandsmoment Wy. Diese Formel wird nun nach h1 an der Stützstelle x aufgelöst:
(17)
Steghöhe: h1(x)
Die Stegbreite ergibt sich aus den ermittelten Dimensionen unter Berücksichtigung, dass die Scherbeanspruchung des GFK-beschichten Steges.
(18)
Stegbreite: t1(x)
Aus diesen Grössen lässt sich nun das lokale Trägheitsmoment Jy(x) des Holmes berechnen und davon abhängig dessen Biegung w(x).
(19)
Trägheitsmoment Jy(x)
(20)
Widerstandsmoment wy(x)
Abbildung 309: Holm-Biegung aufgrund der anliegenden Lastannahme
Die ermittelte Biegung des Flügels ist mit 18 mm bei der aufgebrachten Belastung eigentlich sehr klein. Insbesondere ist sie um ca. 1/4 kleiner als die überschlägige Biegung eines Rechteckholms mit kontinuierlichem Querschnitt wie an der Wurzel.
Nun konnte iterativ die Holmbreite vor allem am Flügelende reduziert werden, ohne dass sich die Schnittgrössen wesentlich verändern würden. Damit lässt sich der Holmquerschnitt optimal an den gewählten Lastfall anpassen.
Abbildung 310: Holm-Dimensionen für Luzi 2
Die Zug- und Druckkräfte die in den Verbindertaschen aufgenommen werden müssen sind bei guter Verklebung mit dem Holm unter Verwendung vom vorgeschlagenen Glas-Schlauch problemlos. Eine zusätzliche Wicklung mit einem Kohle-Roving verhindert unter den vorgegebenen Belastungen ein ungewolltes Platzen.
Auch die entstehende Flächenpressung an der Auflage des Verbinders am Rumpf liegen weit unter den zulässigen Materialgrenzen.
Belastungen am Leitwerk
Die auftretenden Belastungen interessieren auch für die Auslegung des V-Leitwerks. entsprechend sind die Berechneten Werte auch hierzu zusammengetragen worden.
Bereits bei der Beurteilung des Schwerpunktes haben wir die Aufgabe des Leitwerks als Ausgleich des Flügeldrehmoments MF kennen gelernt. entsprechend muss das erzeugte Flügelmoment MF durch den mittels Leitwerksarm rh gedämpften Auftrieb am Leitwerk AH den kompensiert werden.
(21)
Flügelmoment MF
(22)
AH = MF / rh
Auftrieb AH
der notwendige Auftriebsbeiwert caH errechnet sich durch entsprechende Umstellung der Auftriebsformel.
(23)
Auftriebsbeiwert caH
Ebenso lässt sich der notwendige Momentwenbeiwert cmH, der beim symmetrischen Profil des Leitwerks durch entsprechendes setzen der Klappen bzw. bei entsprechender Anstellung im Falle eines Pendelleitwerks realisiert.
(24)
Momentwenbeiwert cmH
Diese Grössen in die oben beschriebene Berechnung eingesetzt. Hierzu wird auch das Leitwerk durch die finiten Ersatzelemente modelliert. Die entsprechenden Berechnungen sind ebenfalls im Excel-Berechnungsblatt ergänzt.
Unter der Annahme des Profilmomentenbeiwertes von cm0 = -0.015 vom Flügelprofil RL1YP1 und einem Maximalauftrieb von ca = 0.8 bei einer Fluggeschwindigkeit vx = 70 m/s im Lastfall (A) ergibt sich am Leitwerk ein caH = -0.028 und ein cmH = -0.24. Daraus errechnen sich für das Leitwerk Querkräfte Q = 17 N, Biegemomente Mb = 2 Nm und ein Torsionsmoment MT = 2 Nm.
Unter der Annahme, dass der Auftriebswert am Leitwerk caH = -1 durch entsprechendes setzen der Klappen erreicht werden, würden sich unter dieser Annahme die Grössen auf folgende Maximalwerte einstellen:
Querkraft Q = 87 N, Biegemoment Mb = 12 Nm und Torsionsmoment MT = 6 Nm.
Fazit
Die Maximalen Kräfte und Momente treten in unterschiedlichen Flugzuständen auf. Das Grösste Biegemoment und die grösste Querkraft treten bei der gewählten Maximalgeschwindigkeit vmax, bei der das Modell mit vollem Auftrieb am Flügel camax herumgerissen wird auf. (Lastfall A) Die maximale Torsion ist gegenüber dem Biegemoment viel kleiner und tritt im Lastfall (C) auf, bei maximaler Sturzflug-Geschwindigkeit vsturz und negativer Auslenkung (Aussen-Loopig).
Unter entsprechender Berücksichtigung der Lastvorgabe n kann die Dimensionierung entsprechend von Breite und Materialeinsatz her optimierte werden. Dazu wurden die Auslegungsgrössen in das Excel-Berechnungsblatt übernommen.
Die ermittelten Grössen am Leitwerk sind verhältnismässig klein und lassen hier Spielraum für den Aufbau.
Offen geblieben in dieser Betrachtung ist bisher die Torsionsbelastung, welche nun Gegenstand einer weiteren Analyse ist.