Torsionsbetrachtung

Torsionsbeurteilung vom Flügel

Wie bereits in der Lastauslegung angesprochen, interessierte das Torsionsverhalten des Flügels aufgrund der ermittelten Torsionsmomente MT. Dazu wurde der Flügel für die Betrachtung in ein dünnwandiges Hohlprofil vereinfacht. Anschliessend wird untersucht, ob die Flügelschale oder der Holm die Torsionsbelastung aufnehmen kann.


In der Betrachtung wurde der Flügel zuerst in ein dünnwandiges, geschlossenes Profil Vereinfacht, welches an der Wurzel fest eingespannt ist. Entsprechend kann das Profil ungehindert verdreht werden und wird als Verwölbung nach dem Modell von Saint- Vernant behandelt.

Vereinfachung Flügel in einfaches, dünnwandiges Hohlprofil

Abbildung 304: Vereinfachung Flügel in einfaches, dünnwandiges Hohlprofil

Die vereinfachte Betrachtung geht von einem konstanten, geschlossenen Rechteck-Profil über die Halbspannweite s/2 aus, welches 3/4 der Flügeltiefe t in der Länge und in der Höhe 10% der Flügeltiefe t entspricht und einer Wandstärke dL. Aus der Lastberechnung wird das Torsionsmoment MT übernommen und der Schubmodul G wird im Anschluss aus dem Aufbau der Flügelschale bzw. dem Holm genommen.

Torsion von dünnwandiger Hohlquerschnitte

Die Beurteilung der Schubspannungen in dünnwandigen Hohlquerschnitten basiert auf den Bredtschen Formeln.

(1)

JT = 4 * AU2 / (? ds) / (G * dL)

Trägheit JT

(2)

AU = 3/4 * 1/10 * t2

Umschlossene Fläche AU

(3)

AU = 3/40 * t2

Umschlossene Fläche AU

(4)

? ds =  2 * (3/4 + 1/10) * t

Umfang des Profils

(5)

? ds = 17/10 * t

Umfang des Profils

(6)

JT = 4 * (3/40 * t2)2 * G * dL / (17/10 * t)

Trägheit JT

(7)

JT = 0.01324 * G * t3 * dL

Die Berechnung der Schubflüsse q wird mit der 1. Bredtschen Formel berechnet

(8)

q = MT / (2 * AU)

Schubfluss q

(9)

q = 6.667 * MT / t2

Die Verdrillung f bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel

(10)

f = MT * s/2 / (G * JT)

Torsionswinkel φ

(11)

f = 37.778 * MT * s / (G * t3 *dL)

Torsionswinkel φ

Torsion von zweifach geschlossenem Hohlquerschnitt

In dieser Annahme wird betrachtet wenn die vordere Schale 1 vom hinteren Teil 2 durch den Holmsteg getrennt würde. Entsprechend geht es in der Berechnung um einen Mehrfach geschlossenen Körper der mittels den 2.ter Bredtschen Formel berechnet werden kann.

zweifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

Abbildung 305: Zweifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

(12)

JT = 2 * ? qi / f'x * AUi = 2 * ? q'i * AUi

Trägheitsmoment JT

Dabei ist q'i eine Unbekannte, die durch das nachfolgende Gleichungssystem gelöst werden soll. Dazu werden die Schubflüsse (rote Pfeile) willkürlich in der Skizze eingetragen. Zu beachten ist dass der Schubfluss q im Mittelsteg zusammengesetzt ist. Der jeweilig geschlossene Umfang wird jeweils separat berechnet, umlaufend von (a) ausgehend.

(13)

q'i * ?a?b ds / (G * dL)ab + (q'i - q'i-1) * ?b?c ds / (G * dL)bc + q'i * ?c?d ds / (G * dL)cd + (q'i - q'i+1) * ?d?a ds / (G * dL)da = 2 * AUi

Schubfluss q

Diese Formel wird nun auf die zwei Zellen (14) und (15) angewendet.

(14)

q'1 * 1/4 * t/(G * dL) + q'1 * 1/10 * t/(G * dL) + q'1 * 1/4 * t/(G * dL)  + (q'1 - q'2) * 1/10 * t/(G * dL) = 2 * 1/40 * t2

Schubfluss q

(15)

(q'2 - q'1) * 1/10 * t/(G * dL) + q'2 * 1/2 * t/(G * dL) + q'2 * 1/10 * t/(G * dL) + q'2 * 1/2 * t/(G * dL) = 2 * 1/20 * t2

Schubfluss q

Zur einfacheren Lesbarkeit werden diese Gleichungen als Matrix geschrieben und noch beidseitig mit 1 / t *(G * dL) multipliziert.

(16)

q'1* 1/4  + q'1* 1/10 + q'1* 1/4 + q'1* 1/10  - q'2* 1/10 = 2 * 1/40* G * t * dL

Schubfluss q

(17)

- q'1* 1/10 + q'2* 1/10 + q'2* 1/2 + q'2* 1/10 + q'2* 1/2 = 2 *1/20 * G * t * dL

Schubfluss q

Das Gleichungssystem wird nun als Matrize (18) dargestellt:

(18)

¦  7/10    -1/10  ¦   ¦ q'1 ¦    ¦ 1/20 ¦ ¦                    ¦ * ¦      ¦ = ¦        ¦ * G * t * dL ¦ -1/10      6/5   ¦   ¦ q'2 ¦    ¦ 1/10 ¦

Schubfluss q

Auflösen des Gleichungssystem erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel

(19)

q'i = det(Ai) / det(A)

Schubfluss q

(20)

         ¦1/20 * G * t * dL   -1/10  ¦            ¦  7/10   1/20 * G * t * dL¦ A1 = ¦                                  ¦;  A2 =  ¦                                  ¦         ¦ 1/10 * G * t * dL    6/5   ¦            ¦ -1/10  1/10 * G * t * dL¦


(21)

        ¦  7/10    -1/10  ¦ A = ¦                      ¦         ¦ -1/10      6/5   ¦


Das Berechnen der Determinante erfolgt mit der Regel von Sarrus

(22)

det(A) = a11 * a22 - a12 * a21

Determinante

(23)

det(A1) = 1/20* G * t * dL* 6/5 - (1/10* G * t * dL * -1/10) = 7/100* G * t * dL

Determinante

(24)

det(A2) = 7/10* 1/10* G * t * dL - (1/20* G * t * dL * -1/10) = 15/200* G * t * dL

Determinante

(25)

det(A) = 7/10* 6/5 - (-1/10* -1/10) = 83/100

Determinante

(26)

q'1 = 7/100 * G * t * dL/(83/100) = 7/83 * G * t * dL

Schubfluss q

(27)

q'2 = 15/200 * G * t * dL/ (83/100)= 15/166 * G * t * dL

Schubfluss q

Damit lässt sich nun das Trägheitsmoment JT (28) berechnen.

(28)

JT = 2 * [ 7/83  * G * t * dL * 1/40 * t2 + 15/166 * G * t * dL * 1/20 * t2]

Trägheitsmoment JT

(29)

JT = 0.01325 * G * t3 * dL

Trägheitsmoment JT

Die Berechnung der Schubflüsse qi (30) erfolgt nun aus den bestimmten q'i

(30)

qi = f'i * q'i = MT/JT * q'i

Schubfluss q

(31)

q1 = MT / (0.0133 * G * t3 * dL) * 7/83 * G * t * dL

Schubfluss q

(32)

q1 = 6.364 * MT / t2

Schubfluss q

(33)

q2 = MT / (0.0133 * G * t3 * dL) * 15/166 * G * t * dL

Schubfluss q

(34)

q2 = 6.818 * MT / t2

Schubfluss q

(35)

q3 = q1 - q2

Schubfluss q

(36)

q3 = 0.455 * MT / t2

Schubfluss q

Die Verdrillung f (37) bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel

(37)

f = MT * s/2 / (G * JT)

Torsionswinkel φ

(38)

f = 37.727 * MT * s / (G * t3 *dL)

Torsionswinkel φ

Torsion von dreifach geschlossenem Hohlquerschnitt

In dieser Annahme wird betrachtet wenn Schale in vordere 1, hintere, 3 und Holm-Schale 2 aufgeteilt würde.

Dreifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

Abbildung 306: Dreifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

Die Berechnung des dreifach geschlossenen Hohlquerschnitts erfolgt analog zum oben beschriebenen Ansatz mit dem zweifach geschlossenen Querschnittes.

(39)

q'1* 1/5 + q'1* 1/10 + q'1* 1/5 + q'1* 1/10  - q'2* 1/10 = 2 * 1/50* G * t * dL

(40)

- q'1* 1/10 + q'2* 1/10 + q'2* 1/10 + q'2* 1/10 - q'3* 1/10 + q'2* 1/10 = 2 *1/100 * G * t * dL

(41)

q'3* 1/10 - q'2* 1/10 + q'3* 9/20 + q'3* 1/10 + q'3* 9/20 = 2 * 9/200* G * t * dL

Das Gleichungssystem wird nun als Matrize dargestellt:

(42)

¦  3/5     -1/10      0    ¦    ¦ q'1 ¦    ¦ 2/50   ¦ ¦ -1/10    2/5    -1/10   ¦ * ¦ q'2 ¦ = ¦ 1/50   ¦ * G * t * dL ¦    0     -1/10  11/10   ¦   ¦ q'3 ¦     ¦ 9/100 ¦

(43)

det(A1) = 2/50* G * t * dL* 2/5 * 11/10 + (-1/10) * (-1/10) * 9/100* G * t * dL - 2/50* G * t * dL * (-1/10) * (-1/10) -  (-1/10) * 1/50 * G * t * dL* 11/10)

(44)

det(A1) = 203/10'000* G * t * dL

(45)

det(A2) = 3/5* 1/50* G * t * dL * 11/10 + 3/5* 1/10* 9/100* G * t * dL + 2/50* G * t * dL* 1/10 * 11/10

(46)

det(A2) = 230/10'000* G * t * dL

(47)

det(A3) = 3/5 * 2/5* 9/100* G * t * dL + 2/50* G * t * dL* 1/10 * 1/10 + 1/10* 1/50*      G * t * dL  3/5 +  9/100* G * t * dL * 1/10 * 1/10

(48)

det(A3) = 223/10'000* G * t * dL

(49)

det(A) = 3/5 * 2/5* 11/10 - 3/5 * 1/10* 1/10 - 1/10 * 1/10* 11/10

(50)

det(A) = 247/1'000

(51)

q'1 = 203/2470 * G * t * dL

(52)

q'2 = 230/2470 * G * t * dL

(53)

q'3 = 223/2470 * G * t * dL

Berechnung des Trägheitsmoment JT.

(54)

JT = 2 * [ 203/2470 * G * t * dL * 1/50 * t2 + 230/2470 * G * t * dL * 1/100 * t2 + 223/2470 * G * t * dL * 9/200 * t2]

(55)

JT = 0.01326 * G * t3 * dL

Berechnung der Schubflüsse qi

(56)

q1 = 5.124 * MT / t2

(57)

q2 = 7.412 * MT / t2

(58)

q3 = 7.187 * MT / t2

(59)

q4 = (q1 - q2) = - 2.288 * MT / t2

(60)

q5 = (q2 - q3) = 0.226 MT / t2

Die Verdrillung f bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel

(61)

f = MT * s/2 / (G * JT)

(62)

f = 37.664 * MT * s / (G * t3 *dL)

Torsion von vierfach geschlossenem Hohlquerschnitt

Nun wird auch noch am Ende ein Holmquerschnitt von 1/10 * t eingesetzt und damit ein vierfach geschlossener Hohlquerschnitt berechnet. Dies entspricht in etwa dem realen Aufbau der Flügelschale.

Vierfacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

Abbildung 310: Vierfacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt

An dieser Stelle wird auf die Herleitung oben verwiesen bzw. auf die beigefügte Excel-Datei, welche die Berechnung detailliert enthält. Die berechneten Werte werden in der nachfolgenden Vergleichstabelle aufgeführt.

Vergleich der Torsionssteifigkeit der jeweiligen Aufbauten

In der Nachfolgenden Tabelle sind die vier untersuchten Aufbauten verglichen.

a) Aufbauvariante - Anzahl Kammern

b) Faktor x zur Berechnung des Trägheitsmoments

(63)

JT = x * G * t3 * dL

c) Veränderung x in [%]

d..j) Faktor yi zur Berechnung der Schubflüsse

(64)

qi = yi * MT / t2

k) Faktor z zur Berechnung der Verdrillung

(65)

f = z * MT * s / (G * t3 *dL)

l) Veränderung z in [%]

Diese baulichen Massnahmen zeigen sehr wenig Wirkung zur Reduktion der Torsion. Die Zunahme der Torsionssteifigkeit von 1.5% bei der Verwendung des zweiten Holmes (4) steht in keinem Verhältnis mit der Gewichtszunahme, die dieser Ansatz birgt. Entsprechend kann daraus abgeleitet werden, dass der Holm gegenüber der Flügelschale keine Torsionskräfte aufnimmt.

Der generische Ansatz dieser Berechnungen zeigt den massgeblichen Einfluss der Flügeltiefe t, welche mit der dritten Potenz in die Rechnung eingeht, während die anderen Parameter für linearen Veränderungen führen.

Fazit

Die Berechnung der Torsionssteifigkeit lässt sich mit einer vereinfachten Betrachtung der Flügelschale als Hohlprofil einfach ermitteln. Mit etwas Mathematik kann auch eine mehrfach unterteilte Schale berechnet werden. Leider nehmen mit der Unterteilung in mehrere Hohlkörper das Gesamtgewicht der Struktur mehr zu, als die Torsionssteifigkeit und daher ist aus dieser Sicht sicher von dieser baulichen Massnahme abzusehen.

Das meint nicht, dass kein hinterer Holm verwendet werden soll sondern, dass dessen Einfluss auf die Torsionssteifigkeit gegenüber einer Aufdickung der Flügelschale oder der Verwendung eines Materials mit höherem Schubmodul wesentlich kleiner ist.

Eindeutig kann aber mit diesen Berechnungen gezeigt werden, dass der Holm keine, bzw. nur ganz kleine (0.3%) Torsionskräfte aufnehmen kann und die Flügelschale die ganze Torsionskräfte aufnehmen muss.