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Das Projekt Luzi 2 wurde beendet und steht damit nicht mehr weiter öffentlich zur Verfügung.
Torsionsbeurteilung vom Flügel
Torsionsbeurteilung vom Flügel
Wie bereits in der Lastauslegung angesprochen, interessierte das Torsionsverhalten des Flügels aufgrund der ermittelten Torsionsmomente MT. Dazu wurde der Flügel für die Betrachtung in ein dünnwandiges Hohlprofil vereinfacht. Anschliessend wird untersucht, ob die Flügelschale oder der Holm die Torsionsbelastung aufnehmen kann.
Wie bereits in der Lastauslegung angesprochen, interessierte das Torsionsverhalten des Flügels aufgrund der ermittelten Torsionsmomente MT. Dazu wurde der Flügel für die Betrachtung in ein dünnwandiges Hohlprofil vereinfacht. Anschliessend wird untersucht, ob die Flügelschale oder der Holm die Torsionsbelastung aufnehmen kann.
Quick Links
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In der Betrachtung wurde der Flügel zuerst in ein dünnwandiges, geschlossenes Profil Vereinfacht, welches an der Wurzel fest eingespannt ist. Entsprechend kann das Profil ungehindert verdreht werden und wird als Verwölbung nach dem Modell von Saint- Vernant behandelt.
Abbildung 304: Vereinfachung Flügel in einfaches, dünnwandiges Hohlprofil
Die vereinfachte Betrachtung geht von einem konstanten, geschlossenen Rechteck-Profil über die Halbspannweite s/2 aus, welches 3/4 der Flügeltiefe t in der Länge und in der Höhe 10% der Flügeltiefe t entspricht und einer Wandstärke dL. Aus der Lastberechnung wird das Torsionsmoment MT übernommen und der Schubmodul G wird im Anschluss aus dem Aufbau der Flügelschale bzw. dem Holm genommen.
Torsion von dünnwandiger Hohlquerschnitte
Torsion von dünnwandiger Hohlquerschnitte
Die Beurteilung der Schubspannungen in dünnwandigen Hohlquerschnitten basiert auf den Bredtschen Formeln.
(1)
Trägheit JT
(2)
Umschlossene Fläche AU
(3)
Umschlossene Fläche AU
(4)
Umfang des Profils
(5)
Umfang des Profils
(6)
Trägheit JT
(7)
Die Berechnung der Schubflüsse q wird mit der 1. Bredtschen Formel berechnet
(8)
Schubfluss q
(9)
Die Verdrillung f bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel
(10)
Torsionswinkel φ
(11)
Torsionswinkel φ
Torsion von zweifach geschlossenem Hohlquerschnitt
Torsion von zweifach geschlossenem Hohlquerschnitt
In dieser Annahme wird betrachtet wenn die vordere Schale 1 vom hinteren Teil 2 durch den Holmsteg getrennt würde. Entsprechend geht es in der Berechnung um einen Mehrfach geschlossenen Körper der mittels den 2.ter Bredtschen Formel berechnet werden kann.
Abbildung 305: Zweifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt
(12)
Trägheitsmoment JT
Dabei ist q'i eine Unbekannte, die durch das nachfolgende Gleichungssystem gelöst werden soll. Dazu werden die Schubflüsse (rote Pfeile) willkürlich in der Skizze eingetragen. Zu beachten ist dass der Schubfluss q im Mittelsteg zusammengesetzt ist. Der jeweilig geschlossene Umfang wird jeweils separat berechnet, umlaufend von (a) ausgehend.
(13)
Schubfluss q
Diese Formel wird nun auf die zwei Zellen (14) und (15) angewendet.
(14)
Schubfluss q
(15)
Schubfluss q
Zur einfacheren Lesbarkeit werden diese Gleichungen als Matrix geschrieben und noch beidseitig mit 1 / t *(G * dL) multipliziert.
(16)
Schubfluss q
(17)
Schubfluss q
Das Gleichungssystem wird nun als Matrize (18) dargestellt:
(18)
Schubfluss q
Auflösen des Gleichungssystem erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel
(19)
Schubfluss q
(20)
(21)
Das Berechnen der Determinante erfolgt mit der Regel von Sarrus
(22)
Determinante
(23)
Determinante
(24)
Determinante
(25)
Determinante
(26)
Schubfluss q
(27)
Schubfluss q
Damit lässt sich nun das Trägheitsmoment JT (28) berechnen.
(28)
![JT = 2 * [ 7/83 * G * t * dL * 1/40 * t2 + 15/166 * G * t * dL * 1/20 * t2]](https://lh3.googleusercontent.com/GisyV8yMYvgIp-pcujCdmznv2JtjDfBohE1buhQUaXuTD2vPITIM096L_72LHjR_cHN4Dvh8Ddo7ReAUS3eBWoIq3VJrk-qrwe1XxjDieZJIeEYk=w1280)
Trägheitsmoment JT
(29)
Trägheitsmoment JT
Die Berechnung der Schubflüsse qi (30) erfolgt nun aus den bestimmten q'i
(30)
Schubfluss q
(31)
Schubfluss q
(32)
Schubfluss q
(33)
Schubfluss q
(34)
Schubfluss q
(35)
Schubfluss q
(36)
Schubfluss q
Die Verdrillung f (37) bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel
(37)
Torsionswinkel φ
(38)
Torsionswinkel φ
Torsion von dreifach geschlossenem Hohlquerschnitt
Torsion von dreifach geschlossenem Hohlquerschnitt
In dieser Annahme wird betrachtet wenn Schale in vordere 1, hintere, 3 und Holm-Schale 2 aufgeteilt würde.
Abbildung 306: Dreifacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt
Die Berechnung des dreifach geschlossenen Hohlquerschnitts erfolgt analog zum oben beschriebenen Ansatz mit dem zweifach geschlossenen Querschnittes.
(39)
(40)
(41)
Das Gleichungssystem wird nun als Matrize dargestellt:
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
Berechnung des Trägheitsmoment JT.
(54)
![JT = 2 * [ 203/2470 * G * t * dL * 1/50 * t2 + 230/2470 * G * t * dL * 1/100 * t2 + 223/2470 * G * t * dL * 9/200 * t2]](https://lh5.googleusercontent.com/fFRPomo0_GwuWR0z-s0Kb282kti6f4aZcPrsoREct3TKPNlSqTd-sK-gJRFtp0rJLGDJaZ-I2tJHdq2s5U9rS1CRR1GxPs_xXolQLjkHmOR3mV6-=w1280)
(55)
Berechnung der Schubflüsse qi
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
Die Verdrillung f bzw. Verwindung berechnet sich nach der 2. Bredtschen Formel
(61)
(62)
Torsion von vierfach geschlossenem Hohlquerschnitt
Torsion von vierfach geschlossenem Hohlquerschnitt
Nun wird auch noch am Ende ein Holmquerschnitt von 1/10 * t eingesetzt und damit ein vierfach geschlossener Hohlquerschnitt berechnet. Dies entspricht in etwa dem realen Aufbau der Flügelschale.
Abbildung 310: Vierfacher, dünnwandiger Hohlquerschnitt
An dieser Stelle wird auf die Herleitung oben verwiesen bzw. auf die beigefügte Excel-Datei, welche die Berechnung detailliert enthält. Die berechneten Werte werden in der nachfolgenden Vergleichstabelle aufgeführt.
Vergleich der Torsionssteifigkeit der jeweiligen Aufbauten
Vergleich der Torsionssteifigkeit der jeweiligen Aufbauten
In der Nachfolgenden Tabelle sind die vier untersuchten Aufbauten verglichen.
a) Aufbauvariante - Anzahl Kammern
b) Faktor x zur Berechnung des Trägheitsmoments
(63)
c) Veränderung x in [%]
d..j) Faktor yi zur Berechnung der Schubflüsse
(64)
k) Faktor z zur Berechnung der Verdrillung
(65)
l) Veränderung z in [%]
Diese baulichen Massnahmen zeigen sehr wenig Wirkung zur Reduktion der Torsion. Die Zunahme der Torsionssteifigkeit von 1.5% bei der Verwendung des zweiten Holmes (4) steht in keinem Verhältnis mit der Gewichtszunahme, die dieser Ansatz birgt. Entsprechend kann daraus abgeleitet werden, dass der Holm gegenüber der Flügelschale keine Torsionskräfte aufnimmt.
Der generische Ansatz dieser Berechnungen zeigt den massgeblichen Einfluss der Flügeltiefe t, welche mit der dritten Potenz in die Rechnung eingeht, während die anderen Parameter für linearen Veränderungen führen.
Fazit
Fazit
Die Berechnung der Torsionssteifigkeit lässt sich mit einer vereinfachten Betrachtung der Flügelschale als Hohlprofil einfach ermitteln. Mit etwas Mathematik kann auch eine mehrfach unterteilte Schale berechnet werden. Leider nehmen mit der Unterteilung in mehrere Hohlkörper das Gesamtgewicht der Struktur mehr zu, als die Torsionssteifigkeit und daher ist aus dieser Sicht sicher von dieser baulichen Massnahme abzusehen.
Das meint nicht, dass kein hinterer Holm verwendet werden soll sondern, dass dessen Einfluss auf die Torsionssteifigkeit gegenüber einer Aufdickung der Flügelschale oder der Verwendung eines Materials mit höherem Schubmodul wesentlich kleiner ist.
Eindeutig kann aber mit diesen Berechnungen gezeigt werden, dass der Holm keine, bzw. nur ganz kleine (0.3%) Torsionskräfte aufnehmen kann und die Flügelschale die ganze Torsionskräfte aufnehmen muss.
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