Elliptisches Modell
Optimiertes Modell mit elliptischer Flügelgeometrie
Da die Erfahrung bei den Resultat-Interpretation fehlte und die simulierten Werte daher nicht eingestuft werden konnte, wurde als Referenz für das aufgebaute Modell Luzi 2 eines mit voll-elliptischen Flächen und Leitwerken entworfen. Dazu wurden die aus der Praxis bekannten Vorgaben verwendet.
Die Basisvorgaben für das Modell Luzi 2 wurden übernommen:
Technische Parameter des Flügels aus der Analyse
Technische Parameter des Leitwerks aus der Analyse
Aus der Entwurfstheorie wurden folgende Annahmen getroffen für die Auslegung:
- Stabilität ca 8%
- Fläche HLW ca. 10% der Flügelfläche
- gerade t/4 Linie
Elliptischer Flügelgeometrie
Für die Flügel- und Leitwerksauslegung wurde die analytische Funktion y = f(x) angewendet und die Punkte der gleichen Stützstellen vom vereinfachten Modell des Luzi 2 in Excel ermittelt. In der Betrachtung wird sowohl die projizierte Fläche Betrachtet wie auch die Originalangaben. Die projizierten Angaben werden indiziert mit dem Index p.
(1) y = ((1 - x² / a2) * b²)1/2
(2) A = pi * s * t / 2; wobei für den Flügel sF =1200 mm und tF = 200 mm
(3) Ap = A * cos(νF); hier Ap~A
A = 37.7 dm²
Daraus ermittelt sich die Spannweite des HLW bei gegebener Wurzeltiefe von tH = 102 mm
(4) AHp ~ AH/10
AHp = 3.8 dm²
(5) sHp = 2 * AHP / tH / pi
(6) sH = sHp / cos(νH)
sH = 235 mm;
Für den Auftrieb des elliptischen Flügel gilt:
(7) A = pi / 4 * ρ * v * b * G
und davon abgeleitet wird er Auftriebsbeiwert des elliptischen Flügels
(8) ca = pi / 2 * (b * G) / (v * F)
Der Beiwert des induzierten Widerstandes des elliptischen Flügels ergibt:
(9) cwi = pi / 4 * G² / (v² * F) = cA² / pi * Ʌ
Damit erreicht ein elliptischer Flügel mit einer Streckung Ʌ = 15 ca. 90% des idealen Auftriebs. Eine Verdoppelung der Streckung hätte nur einen Zuwachs von 2 - 3% zur Folge. Dagegen reduziert sich der induzierte Widerstand bei einer Vergrösserung der Streckung von 15 auf 30 um ca. 50%, was bei hohen cA -Werten 10 - 20 % der gesamten Widerstandsbilanz ausmachen kann.
Berechnung des Ersatzflügels
Der elliptische Flügel ist die einzige Tragflügelform bei der die Verteilung des lokalen Auftriebskoeffizienten ca(y) konstant ist. Die Ellipse ist nicht zwingend symmetrisch zu gestalten. In unserem Fall soll zwar die Verteilung der der Flügeltiefe le(y) gleich sein, aber der Abstand x(y) der Flügelkante und xN(y) der lokalen Neutrallinie von der Nullachse unterschiedliche Verteilung haben.
Für le(y) gilt (l0 = Wurzeltiefe und se = Halbspannweite):
(10) le(y) = l0 * (1 - (y / se)²)1/2
(11) Fe = pi * l0 / 2 * se
(12) LE = 8 * l0 / (3 * pi)
(13) x0E = x0 + 1/4 * l0 * (1 - 8 / (3 * pi));
(14) xN = x0E + lE / 4; für x0 = 0: xN = (1/2 - 2 / (3 * pi) * l0
(15) SE = 3*pi² / 32*se
(16) Ʌ = SE²/ F
Für den Flügel werden folgende Werte ermittelt:
Vorgabe Leitwerk in [mm]: l0 = 200; se = 1200; x0 = 0;
FE = 376'990.2 mm² bzw. 37.7 dm²
lE = 169.8 mm
x0E = 7.6 mm
XN = 50.0 mm
SE = 1110.0 mm
Ʌ = 15.3
Analog werden für das HLW folgende Werte ermittelt:
Vorgabe Leitwerk in [mm]: l0 = 102; se = 235; x0 = 0;
FE = 48'867.4 mm² bzw. 4.9 dm²
FEp = 3.8 dm²
lE = 86.6 mm
x0E = 3.9 mm
XN = 25.5 mm
SE = 287 mm
Ʌ = 5.9
Modellierung in Excel
In der Berechnung wurden bereits die zu erwartenden Re-Zahlen an den entsprechenden Stützstellen ermittelt, welche nachfolgend als Basis für die Profilpolaren in XFLR5 numerisch berechnet werden sollen. Dazu wurden die Daten in einer Excel-Datei gespeichert, damit unter Verwendung derselben Formeln neben dem Flügel auch gleich das HLW berechnet werden konnte.
Abbildung 70: Elliptischer Referenzflügel
Analog zum Flügel wurde auch das Höhenleitwerk (HLW) aufgebaut:
Abbildung_71: Elliptisches Referenz-HLW
Leistungsparameter
Analog dem Ersatzmodell werden hier die Leistungskennzahlen wie minimales Sinken, optimales Gleiten und minimale Sinkgeschwindigkeit des Modell berechnet.
geringstes Sinken bei ɑ = 0°: V = 8.44 m/s bei Re = 99'889
geringstes Sinken bei ɑ= 5°: V = 8.01 m/s bei Re = 86'225
optimales Gleiten bei ɑ = 0°: V = 8.95 m/s bei Re = 96'402
optimales Gleiten bei ɑ= 5°: V = 8.22 m/s bei Re = 88'465
Die Widerstandswerte werden aus den Modellpolaren abgelesen und interpoliert für die entsprechend gefundenen Re-Zahlen.
Aus den ermittelten Werten werden nun die Leistungsparameter berechnet.
Abbildung 95: Sinkraten und Gleitzahl bei ɑ = 0°
Abbildung 96: Sinkraten und Gleitzahl bei ɑ = 5°
Abbildung 97: Sinkgeschwindigkeit bei ɑ = 0°
Abbildung 98: Sinkgeschwindigkeit bei ɑ = 5°
Übernahme der Geometrie in XFLR5
Anhand dieser Vorgaben erfolgte der Modellaufbau in XFLR5:
Abbildung 72: Aufbau elliptischer Referenzflügel in XFLR5
Abbildung 73: Aufbau elliptisches Referenz-HLW in XFLR5
Abbildung 74: Aufbau elliptisches Referenzmodell in XFLR5
Parametrierung der Geometrie
Technische Parameter des Flügels aus der Analyse
Technische Parameter des Leitwerks aus der Analyse
Probleme mit der optimalen Modellgeometrie
In der Simulation tritt das Problem auf, dass die kleinen Re- Zahlen an den Flügelenden zu Problemen in der numerischen Auflösung der Berechnungen führen. Die Resultate aus der Simulation zeigten einen vorzeitigen Strömungsabriss bevor das Maximum des Verhältnisses Cl/Cd erreicht wurde.
Daher ist dieser initiale Ansatz nicht erfolgreich und muss verbessert werden.
Optimierung der Simulationsgeometrie
Damit die Numerische Berechnung der der lokalen Re-Zahlen auch in den Randbögen funktionieren, müssen sie eine Mindesttiefe aufweisen. Diese wird erreicht, in dem die Ellipsen etwas länger als die gewünschte Spannweite definiert wird und entsprechend bei der letzten Stützstelle abgeschnitten wird.
Hier folgte eine Anpassung von se von 1'200 mm auf 1'220 mm beim Flügel und daraus abgeleitet ermittelte sich se für das HLW von 310 mm. Mit diesen Werten wurden analog der oben beschrieben Methode die Profiltiefen an den Stützstellen neu berechnet und in XFLR5 übernommen.
Abbildung 76: Optimiertes elliptisches Modell
Vergleich Berechnung mit Simulation in XFLR5
In der nachfolgenden Tabelle werden die Ergebnisse aus der Modellberechnungdenjenigen aus der Simulation des vereinfachten Modells mit XFLR5 gegenübergestellt und kommentiert.
Die Abweichungen hier sind im Wesentlichen der grösseren Ellipsenfläche geschuldet im XFLR-Modell, damit diese auf eine Spannweite von den 540 mm abgeschnitten werden kann und sich dabei eine vernünftige Tiefe am HLW bzw. Flügel erreichen lassen. Gegenüber dem vereinfachten Modell ist die Streckung grösser und bedingt durch die gerade t/4-Linie auch der Schwerpunkt weiter vorne.
Abbildung 105: Performance-Betrachtung am elliptischen Referenzmodell
Auch hier decken sich die Ergebnisse zwischen Berechnung und Analyse gut. Im Vergleich zum vereinfachten Modell sind die Gleitleistung und die Sinkgeschwindigkeit bei vergleichbarer Stabilität deutlich höher. Entsprechend sind auch die Fluggeschwindigkeiten kleiner.
Leistungsparameter
Die Leistungsparameter sind hier ähnlich wie bei dem berechneten Modell.
Abbildung 106: Leistungsbetrachtung am elliptischen Referenzmodell
Auftriebsverteilung und Widerstand am Tragflügel
Der Vergleich der Leistungsparameter zeigt nur wenig Unterschiede zum berechneten Ersatzmodell. Der wesentliche Vorteil des elliptischen Flügelquerschnittes zeigt sich in der Beurteilung der Widerstandsanalyse des Modells.
Das berechnete Ersatzmodell zeigt in der Auftriebsverteilung ein leicht überelliptisches Verhalten, ebenso ist der Auftritt bedingt durch die Trapezübergänge nicht ganz optimal. Diese Unterschiede sind jedoch untergeordneter Priorität im Vergleich zu der deutlich erhöhten Widerstandswerten auf den letzten 10 cm des Flügels. Durchschnittlich beträgt der Widerstandsbeiwert 0.017 während er an den Flügelenden auf 0.07 bzw. beim berechneten Modell auf 0.01 ansteigt.
Die beiden angehängten Betrachtungen beim Zustand optimalen Gleitens zeigen die Vorteile des elliptischen Flügels. Insbesondere ist auf den Vergleich des induzierten Widerstandes hinzuweisen.
Abbildung 107: Auftrieb und Widerstand am Berechnungsmodell
Abbildung 108: Auftrieb und Widerstand am elliptischen Referenzmodell
Fazit aus der Betrachtung des elliptischen Referenzmodells
Der Vergleich der Berechnungsmethode mit der Simulation hat im Wesentlichen dazu beigetragen die simulierten Ergebnisse besser interpretieren zu können hinsichtlich möglicher Korrekturmassnahmen.
Mit der Betrachtung der zwei unterschiedlichen Lösungsansätze konnte auch eine Einstufung der Einflussfaktoren innerhalb eines entsprechenden Wirkungsraumes erarbeitet werden. Die Grössenordnungen der einzelnen Parameter kann somit besser eingeschätzt werden.
Die konsequente Ausrichtung auf die t/4- Linie beim elliptischen Modell bewirkt, dass der Schwerpunkt ca. 10 mm weiter Vorne liegt, als beim berechneten Ersatzmodells. Darüberhinaus ist die Streckung grösser und daher auch die Flügelfläche kleiner. Trotzdem ist mit dem elliptischen Modell die erreichbare Geschwindigkeit etwas tiefer im Bereich des stabilen Zustandes.
Die vernachlässigbaren Performance-Unterschiede, zeigen im Wesentlichen die Benutzbarkeit der initialen Auslegung des Modells. Die Vergleiche des Widerstandsverhaltens am Flügel hingegen zeigen, dass Massnahmen, wie Profilanpassung oder Schränkung am Flügelende mehr Einfluss auf die Modell-Performance haben, als eine Optimierung der Flügelgeometrie.
Als nächstes werden daher die Betrachtungen am vereinfachten Analysemodell weitergeführt, welches gegenüber dem berechneten Ersatzmodells mehr Stützpunkte aufweist. daran werden anschliessend verschiedene Optimierungsversuche geprüft.